Pengertian bilangan bulat

Bilangan Bulat adalah bilangan yang terdiri dari  bilangan positif, nol, dan bilangan  negatif. Lambang Bilangan Bulat adalah “B”

B = {…, -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}

Pada Garis Bilangan

• Semua bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol dan semua bilangan bulat positif disebelah kanan nol

• Bilangan yang lebih besar selalu berada di kanan bilangan yang lebih kecil

• Pada garis bilangan tersebut, diketahui :

     a.  3 < 5

     b.  2 > – 4

     c.  – 5 < 0 

Contoh

Tentukan hasil penjumlahan bilangan berikut dengan menggunakan garis bilangan !

1. 8 + (-3)

2. -2 + (-5)

Pembahasan  :

a. 8 + ( – 3 )

Dari titik 0 bergerak 8 satuan ke kanan, kemudian dilanjutkan -3 satuan ke kiri, sehingga diperoleh titik akhir, yaitu 5 yang merupakan hasil akhir dari 8 + (-3). Jadi 8 + (-3) = 5

2. – 2 + ( – 5 )

Dari titik 0 bergerak 2 satuan ke kiri, kemudian dilanjutkan 5 satuan ke kiri, sehingga diperoleh titik akhir, yaitu -7 yang merupakan hasil akhir dari -2 + (-5). Jadi -2 + (-5) = -7

Cerita kehidupan sehari-hari

Perhatikan gambar kue donuts berikut.

Pada setiap gambar terdapat 3 kue donuts. Berapakah banyak kue donuts pada keempat gambar tersebut? Bagaimanakah kalian menghitungnya? Jelaskan.

Untuk menentukan hasil perkalian dua bilangan bulat, kalian dapat memperhatikan tanda bilangan dengan aturan perkalian berikut ini.

• bilangan positif dikalikan dengan bilangan positif menghasilkan bilangan positif

• bilangan positif dikalikan dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan negatif

• bilangan negatif dikalikan dengan bilangan positif menghasilkan bilangan negatif

• bilangan negatif dikalikan dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan positif

Selain itu, untuk menentukan hasil perkalian dua bilangan bulat kalian juga tetap harus mengalikan kedua bilangan tersebut. Perhatikan contoh perkalian dua bilangan bulat berikut.

Contoh

Hitunglah −2 × 3 = ….

Jawab

Perkalian kedua bilangan di atas dibaca: negatif (dua) dikalikan dengan positif (tiga).

Dua bilangan tersebut berturut-turut adalah negatif dan positif, maka perkaliannya menghasilkan bilangan negatif.

Sedangkan bilangan 2 dikalikan dengan bilangan 3 menghasilkan bilangan 6.

Sehingga, negatif 2 dikalikan dengan positif 3 sama dengan negatif 6.

Jadi, −2 × 3 = −6

Dengan memperhatikan hasil perkalian dengan aturan perkalian di atas, tampak bahwa hasil kali dua bilangan bulat yang berbeda tanda adalah bilangan bulat negatif. Berdasarkan contoh tersebut, bagian mana yang menurutmu kurang jelas? Apa yang membuatmu kurang jelas? Coba tuliskan.

Selanjutnya cobalah menentukan hasil perkalian (−3) × (−2), bila perlu minta pendampingan orang tua atau kakakmu. Jelaskan jawabanmu!

Agar kalian memperoleh pemahaman yang lebih baik, kerjakan latihan berikut ini.

1. Gunakan aturan perkalian untuk menentukan hasil perkalian berikut.

2. Perhatikan hasil pada tabel di atas dengan cermat. Bandingkan hasil pada kolom (1) dan    (2), juga hasil pada kolom (3) dan (4). Simpulkan apa yang kalian peroleh?

3. Pilih sebarang dua bilangan bulat bertanda sama yang hasil kalinya 15. Apakah kalian dapat menemukan pasangan bilangan bulat berbeda lainnya yang hasil kalinya juga 15, dan tuliskan pada kolom (1) dan (2)?

Tetapkan suatu bilangan bulat yang merupakan hasil kali dua bilangan bulat. Tentukan dua bilangan bulat lain sehingga hasil kalinya sama dengan bilangan yang sudah kalian tetapkan. Isikan hasil bilangan-bilangan yang sudah kalian pilih pada kolom (3) dan (4). Lengkapi tabel berikut.

Latihan

1. Tentukan hasil perkalian berikut !

a.   7 × 12 = … c. 18 × (−21) = … e. −20 × 8 = …

b.   4 × (−16) = … d. −6 × (−18) = … f. −14 × (−22) = …

Soal Terbuka

2. Pilih dua bilangan bulat berbeda tanda yang hasil kalinya 40 !

Berpikir Kritis (H.O.T.S)

3. Tulis langkah-langkah untuk menyelesaikan 6 × 15 !

Pembagian Bilangan Bulat

Pada pembagian dua  bilangan bulat, bilangan pertama menyatakan bilangan yang dibagi dan bilangan kedua adalah bilangan pembagi. Perhatikan ilustrasi berikut.

1. Ibu memiliki 4 buku tulis.

2. Adik memiliki 30 kelereng.

Ia menyimpan kelereng tersebut di dalam 6 kaleng. Setiap kaleng berisi kelereng yang sama banyak. Dapatkah kalian menentukan banyak kelereng pada setiap kaleng? Jelaskan jawabanmu.

Untuk menentukan hasil pembagian bilangan bulat, kalian dapat memperhatikan tanda bilangan dengan aturan pembagian berikut ini.

• bilangan positif dibagi oleh bilangan positif menghasilkan bilangan positif

• bilangan positif dibagi oleh bilangan negatif menghasilkan bilangan negatif

• bilangan negatif dibagi oleh bilangan positif menghasilkan bilangan negatif

• bilangan negatif dibagi oleh bilangan negatif menghasilkan bilangan positif

Perhatikan contoh pembagian bilangan bulat berikut.

Contoh

Hitunglah –12 : 3 = ….

Jawab

Pembagian pada bilangan di atas dibaca: negatif (dua belas) dibagi oleh positif (tiga).

Dua bilangan tersebut berturut-turut adalah negatif dan positif, maka pembagiannya menghasilkan bilangan negatif.

Sedangkan bilangan 12 dibagi oleh bilangan 3 menghasilkan bilangan 4.

Sehingga, negatif 12 dibagi oleh positif 3 sama dengan negatif 4

Jadi, −12 : 3 = −4

Berdasarkan contoh di atas, bagian mana yang kurang jelas? Apa yang membuatmu kurang jelas? Coba tuliskan

Agar kalian memperoleh pemahaman yang lebih baik, kerjakan latihan berikut ini.

1. Gunakan aturan pembagian untuk menentukan hasil pembagian berikut

2. Perhatikan hasil pada tabel di atas dengan cermat. Bandingkan hasil pada kolom (1) dan (2). Simpulan apa yang kalian peroleh?

3. Tentukan hasil pembagian berikut. Untuk nomor c dan d, pilih dua bilangan bulat yang bertanda sama, kemudian lengkapilah tabel berikut, bila perlu mintalah pendampingan orang tua atau kakak.

Latihan

1. Gunakan aturan pembagian untuk menentukan hasil pembagian berikut. 

a.  −24 : (−4) = …

b. −27 : 9 = …

2. Tentukan hasil pembagian berikut.

a.  52 : (−4) = … c. 35 : (−7) = … e.   −28 : 4 = …

b. −45 : 9 = … d.  −48 : (−12) = … f. −96 : (−12) = …

Soal Terbuka

3. Pilihlah dua bilangan bulat yang hasil baginya –8.

4. Tulis soal cerita yang model penyelesaiannya 48 : 6.

Pengertian Pecahan

Pecahan adalah bentuk dari bilangan rasional, yang mana merupakan sebuah bilangan yang berbentuk a/b dengan b tidak sama dengan nol.

Misalkan:

Sebuah kue tart dibagikan kepada anggota keluarganya yang terdiri 8 orang. Maka masing – masing anggota keluarga akan mendapat  bagian yang sama besar yaitu dari keseluruhan atau bagian

Adapun bentuk dan jenis bilangan pecahan yaitu :

1. Pecahan biasa.

Pecahan biasa adalah bilangan pecahan yang terdiri dari pembilang dan penyebut 

Misalnya : ,  ,  ,  , 

2. Pecahan campuran

Pecahan campuran adalah bilangan  yang terdiri dari bilangan bulat dan pecahan biasa.

Misalnya :

3. Pecahan  Desimal

Salah satu bentuk bilangan yang dapat digunakan untuk menuliskan pecahan adalah desimal. Sistem desimal didasarkan pada bilangan 10. Ciri khusus sistem ini adalah digunakannya tanda koma (,) pada penulisannya. Bilangan-bilangan di sebelah kiri koma menunjukkan bilangan bulat atau nol (0), sedangkan disebelah kanan koma menunjukkan bilangan – bilangan pecahan.

Dalam sistem desimal , angka- angka  dalam suatu bilangan mempunyai arti sebagai berikut . 

1234,567

1 sebagai ribuan, 2 sebagai ratusan, 3 sebagai puluhan, 4 sebagai satuan sedang

5 sebagai persepuluhan, 6 sebagai perseratusan, 7 sebagai perseribuan

4. Persen (%)

Persen artinya perseratus, ditulis dengan notasi %. Jadi pecahan dengan penyebut seratus disebut persen

Perhatikan contoh penulisan bilangan persen berikut ini !

1). = =   ditulis 50% 3).  = ditulis 2% 

2). =    ditulis 75% 4).  =ditulis 25%

5. Permil  ( 0/00  )

Permil adalah pecahan yang penyebutnya 1.000 . Bentuk “per 1.000” atau ditulis 0/00. Jadi untuk mengubah suatu bilangan pecahan menjadi bentuk permil ( 0/00 )  penyebutnya harus diubah menjadi 1.000.

Perhatikan contoh penulisan bilangan permil berikut ini !

1). = ditulis 500 0/00 3).  = ditulis ….. 0/00

2). = ditulis 250 0/00 4).  = ditulis ……. 0/00

Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan

Operasi hitung yang pertama adalah penjumlahan dan pengurangan pecahan. Cara yang digunakan dalam menjumlahkan maupun mengurangkan pecahan adalah dengan menyamakan penyebut dengan aturan seperti di bawah ini:

Contoh Soal

Hitunglah soal di bawah ini!

Perkalian Pecahan

Operasi hitung kedua adalah perkalian. Berbeda dengan penjumlahan yang harus disamakan penyebutnya agar pekerjaan lebih mudah, perkalian tidak perlu menggunakan hal tersebut karena langsung dihitung apa adanya dengan aturan seperti di bawah ini:

Untuk mempermudah pengerjaannya, bilangan yang ada dapat disederhanakan terlebih dahulu. Lebih jelasnya perhatikan soal di bawah ini:

Contoh Soal

2. Seorang pedagang mula-mula memiliki modal Rp 2.500.000,00. Setelah usahanya berjalan 2 tahun, modalnya berkembang menjadi 6 dari modal awal. Berapa modal yang dimiliki pedagang itu sekarang?

Jawab .  625=325

2.500.000 x 325 =16.000.000 

Jadi Modal pedagang menjadi Rp. 16.000.000,00

Pembagian Pecahan

Pada operasi pembagian, cara yang dilakukan adalah di balik dan diubah menjadi operasi perkalian dengan aturan seperti di bawah ini:

Karenanya, operasi pembagian pecahan menggunakan metode penyederhanaan seperti perkalian dalam mempermudah pengerjaannya. 

Perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

2. Ibu membeli 40 kg gula pasir. Gula itu akan dijual eceran dengan dibungkus kantong plastic masing-masing kg. Berapa banyak kantong plastik yang diperlukan ibu?

    Jawab.  

    40 : ¼ = 40 x 4/1 =160 

     Jadi Ibu membutuhkan 160 kantong palstik

Luas Persegipanjang dan Persegi

Bagaimana  menentukan  luas  daerah  persegipanjang? Untuk menentukan luas persegipanjang ketiga dapat dilakukan dengan membuat garis-garis vertikal dan horizontal yang membentuk persegi-persegi satuan di daerah persegipanjang tersebut. Selanjutnya menentukan banyak persegi satuan di daerah yang dibatasi sisi-sisi persegipanjang itu. Namun, cara ini tidak ringkas. Bagaimana cara yang lebih ringkas dan singkat untuk menentukan luas persegipanjang? Perhatikan gambar berikut.

Untuk menentukan luas persegipanjang tersebut tidak harus menghitung satu persatu banyak persegi satuan yang menutup daerah persegipanjang tersebut, melainkan cukup mengalikan panjang sisi-sisi berdekatan, yaitu 15 x 7 = 7 x 15 = 105 persegi satuan. Apabila panjang sisi persegi satuan tersebut adalah 1 cm², luas persegipanjang tersebut adalah 105 cm².

Biasanya, sisi-sisi berdekatan pada persegipanjang masing-masing disebut panjang, disimbolkan dengan p, dan lebar, disimbolkan dengan l. 

Luas Persegipanjang

1. Luas persegipanjang dengan panjang p dan lebar l adalah p × l

2. Nyatakan luas persegipanjang dengan kata-kata sendiri dengan menggunakan istilah panjang sisi-sisi berdekatan tanpa menggunakan simbol.

Luas Persegi

Luas persegi dengan pajang sisi s adalah s × s

Keliling Persegipanjang dan Persegi

Pemain sepakbola melakukan pemanasan dengan berlari mengelilingi lapangan sepakbola tepat melintasi batas lapangan tersebut. Lapangan sepakbola tersebut berbentuk persegipanjang dengan panjang 110 m dan lebar 75 m. Berapa meter jarak yang ditempuh pemain tersebut untuk berlari mengelilingi satu putaran lapangan sepakbola tersebut?

Sumber: http://bolaone.com/lapangan-sepak-bola.html

Jarak yang ditempuh pemain sepakbola dalam mengelilingi lapangan sepakbola tepat satu kali merupakan keliling lapangan sepakbola tersebut. Berapakah keliling lapangan   sepakbola   tersebut?   Bagaimanakah   cara   menentukan   keliling   lapangan sepakbola tersebut? Bagaimanakah cara menentukan keliling persegipanjang dan persegi? 

Keliling Persegipanjang dan Persegi

1. Keliling persegipanjang dengan panjang p dan lebar l adalah 2 (p + l)

2. Keliling persegi dengan panjang sisi s adalah 4 × s

A. Keliling segitiga 

Perhatikan gambar di samping

Keliling segitiga di samping dapat diperoleh dari menjumlahkan semua sisi segitiga :

K = AB + BC + AC

Jika AB = c, BC = a dan CA = b, maka : 

Contoh :

Perhatikan gambar di samping !

Pada segitiga KLM, diketahui = KL = 10 cm, LM  = 8 cm dan KM = 6 cm

Keliling segitiga KLM di samping adalah:

K = KL + LM + MK

   = 10  + 8 + 6 = 24 cm

B. Luas segitiga

 Perhatikan gambar berikut !

Luas persegi panjang ABCD = 2 x Luas segitiga ABC

      AB X BC = 2 x Luas segitiga ABC

                        x  AB x BC = Luas segitiga

Jika AB= alas segitiga ABC dan BC= tinggi segitiga ABC maka :

 luas ∆ ABC = x alas x tinggi